Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E 、F，连接AD与内切圆相交于另

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E 、F，连接AD与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF．求证：（1）△PFD ∽ △PDC；（2） EP DE = PD DC ．

Answer 1

（1）∵BC与圆相切， ∴∠PFD=∠PDC． ∵BF、BD分别于圆相切， ∴∠BFD=∠BDF=45°． ∴∠FPD=45°． ∵PC⊥PF， ∴∠FPD=∠DPC． ∴△PFD ∽ △PDC． （2）∵AE、AF与圆相切， ∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE， ∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE， ∴△AFP ∽ △ADF，△AEP ∽ △ADE， ∴ AF AD = PF FD 、 AE AD = PE ED 且AE=AF， ∴ PF FD = PE ED ． ∵△PFD ∽ △PDC， ∴ PF FD = PD DC ． ∴ EP DE = PD DC ．