Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于D点，与边AC交于E点，过D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于D点，与边AC交于E点，过D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DE= 5 ，AB=5，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OD、AD． ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC． ∵AB=AC， ∴AD是△ABC的中线，即D是BC的中点， ∵O是AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD ∥ AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线； （2）过D作DG⊥AB，垂足为G． 由（1）知，AD是等腰△ABC底边BC的中线、高线， ∴AD平分∠BAC， ∴DE=DB= 5 ． 在Rt△ABD中， AD= A B 2 -D B 2 = 5 2 - ( 5 ) 2 =2 5 ， 在Rt△ABD中， S △ABD = 1 2 ?AD?DB= 1 2 ?AB?DG ，即 1 2 ×2 5 × 5 = 1 2 ×5?DG ， ∴DG=2． ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴DF=DG=2， 在Rt△DEF中， EF= D E 2 -D F 2 = ( 5 ) 2 - 2 2 =1 ． 在Rt△ADF中， AF= A D 2 -D F 2 = (2 5 ) 2 - 2 2 =4 ． ∴AE=AF-EF=3．