已知抛物线C：y 2 =2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．（I）求抛物线的方程；（II）若斜率为

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．（I）求抛物线的方程；（II）若斜率为-33的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点M在直线l的右... 已知抛物线C：y 2 =2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．（I）求抛物线的方程；（II）若斜率为 - 3 3 的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点M在直线l的右上方，求证：△MAB的内心在直线x=3上；（III）在（II）中，若∠AMB=60°，求△MAB的内切圆半径长．展开

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（I）∵抛物线C：y² =2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4，
∴ 3+

=4 ，∴p=2．
所以抛物线C：y² =4x．（3分）
（II）证明：由（I）得 M(3，2

) ，设 l：x=-

y+b ，A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），
由

y 2 =4x

x=-

y+b

，消去x得 y 2 +4

y-4b=0 ，所以 y 1 + y 2 =-4

，
又 K MA =

y 1 -2

x 1 -3

， K MB =

y 2 -2

x 2 -3

， y 1 2 =4 x 1 ， y 2 2 =4 x 2 ，
所以 k MA + k MB =

y 1 +2

y 2 +2

4( y 1 + y 2 +4

)

( y 1 +2

)( y 2 +2

)

=0，
因此∠AMB的角平分线为x=3，即△MAB的内心在直线x=3上．（7分）
（III）由（II）得，直线MA，MB的倾斜角分别为60°，120°，所以 k MA =

， k MB =-

．
直线 MA：y=

(x-1) ，所以

y 2 =4x

(x-1)

?3 x 2 -10x+3=0， x 1 =

， x M =3 ． |MA|=

1+(

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