Question

（2010?西城区二模）如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E是侧棱CC1的中点

（2010?西城区二模）如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E是侧棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
因为BB₁⊥底面ABCD，
所以BB₁⊥AC，（3分）
所以AC⊥平面BDD₁B₁．（5分）
（Ⅱ）设AC，BD交于点O，取B₁D的中点F，连接OF，EF，
则OF∥BB₁，且OF＝

1

2

BB1，
又E是侧棱CC₁的中点，EC＝

1

2

CC1，BB₁∥CC₁，BB₁=CC₁，
所以OF∥CC₁，且OF＝

1

2

CC1，（7分）
所以四边形OCEF为平行四边形，OC∥EF，（9分）
又AC∥平面B₁DE，EF∥平面B₁DE，（11分）
所以AC∥平面B₁DE．（13分）