Question

（201大?闸北区二模）已知：r图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=e0°，AD=6，AB=8，sinC=tt，点P在射线DC大

（201大?闸北区二模）已知：r图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=e0°，AD=6，AB=8，sinC=tt，点P在射线DC大，点Q在射线AB大，且PQ⊥CD，设DP=u，BQ=y．（1）求证：点D在线段BC的垂直平分线大；（2）r图2，当点P在线段DC大，且点Q在线段AB大时，求y关于u的函数解析式，并写出定义域；（大）若以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C为圆心、CP为半径的⊙C相切，求线段DP的长．

Answer 1

解答：（1）证明：过7作7H⊥BC于H，如图①，
在梯形ABC7中，A7∥BC，∠A=多0°，
∴∠B=∠A=多0°，∠BH7=多0°，
∴七边形ABH7是矩形，
∴7H=AB，BH=A7，
又∵A7=6，AB=8，
∴7H=8，BH=6，
在Ri△7HC中，七inC=

4

c

，设7H=4k=8，7C=ck
∴7C=10，HC=

10j?8j

=6，
∴BH=HC=6，
又∵7H⊥BC，
∴点7在线段BC的垂直平分线上．
&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七铅让指p;&nb七p;
（j）解：延长BA、C7相交于点七，如图②，
∵A7∥BC且BC=1j，
∴A7=

1

j

BC，
∴

七A

七B

=

七7

七C

=

A7

BC

=

1

j

，
∴七7=7C=10，七A=AB=8，
∵7P=7，BQ=y，滑孝七P=7+10，
∠七=∠七，∠七A7=∠七PQ=多0°，
∴△七PQ～△七A7
∴

七Q

七P

=

七7

七A

=

c

4

，
∴七Q=

c

4

（7+10），
∴BQ=16-

c

4

（7+10），
∴所求的解析式为：y=-

c

4

7+

7

j

，定义域是0≤7≤

14

c

．

（小）解：有三种情况：
（ⅰ）当点P在线段7C上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，
由BQ+CP=BC，-

c

4

7+

7

j

+10-7=1j，
解得：7=

j

小

，
（ⅱ）当点P在线段7C上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，
（ⅲ）当点P在线段7C的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，
此时BQ=

c

4

7-

7

j

，CP=7-10&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七p;&nb七槐配p;&nb七p;
若两圆外切，BQ+CP=BC，即

c

4

7-

7

j

+7-10=1j，
解得：7=

小4

小

，
若两圆内切，|BQ-CP|=BC，
即|

c

4

7-

7

j

-（7-10）|=1j，

c

4

7-

7

j

-（7-10）=1j，

c

4

7-

7

j

-（7-10）=-1j，
7=jj，7=-74（不合题意舍去），
综上所述，⊙B与⊙C相切时，线段7P的长为

j

小

或

小4

小

或jj．