Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E为BB1中点，平面AEC1交DD1于F，交A1D1的延长线于G．（

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E为BB1中点，平面AEC1交DD1于F，交A1D1的延长线于G．（1）求证：CC1∥平面FGD1；（2）求异面直线BD与AF所成的角的大小．

Answer 1

解答：解：（1）证明：由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，CC₁∥DD₁，
∵DD₁?平面FGD₁，CC₁?平面FGD₁，
∴CC₁∥平面FGD₁．
（2）以A₁为原点，A₁B₁，A₁D₁，A₁A所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
于是，A（0，0，2），B（1，0，2），D（0，1，2），E（1，0，1），C₁（1，1，0），

BD

=（-1，1，0）．
因为EC₁和AF是平行平面BB₁C₁C和AA₁D₁D与平面AEC₁G的交线，
所以EC₁∥AF．设F（0，1，z），
则

AF

=（0，1，z-2）．

EC1

=（0，1，-1），由EC₁∥AF，得z=1，
∴

AF

=（0，1，-1），∴cos＜

AF

，

BD

＞=

AF ? BD

| AF || BD |

=

1

2 × 2

=

1

2

，
＜

AF

，

BD

＞=

π

3

，
∴异面直线BD与AF所成的角为

π

3

．