Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BB1=BC=1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB．（Ⅰ）求证：平面EDB⊥

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BB1=BC=1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB．（Ⅰ）求证：平面EDB⊥平面EBC；（Ⅱ）求二面角E-DB-C的正切值；（Ⅲ）求C到面EDB的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB=2，BB₁=BC=1，E为D₁C₁的中点．
∴△DD₁E为等腰直角三角形，∠D₁ED=45°．同理∠C₁EC=45°．
∴∠DEC=90°，即DE⊥EC．
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥平面D₁DCC₁，又DE?平面D₁DCC₁，
∴BC⊥DE．又EC∩BC=C，∴DE⊥平面EBC．
∵DE?平面DEB，∵平面DEB⊥平面EBC．
（Ⅱ）如图，过E在平面D₁DCC₁中作EO⊥DC于O．
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵面ABCD⊥面D₁DCC₁，∴EO⊥面ABCD．
过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，
连接EF∴EF⊥BD．
∠EFO为二面角E-DB-C的平面角．
利用平面几何知识可得OF＝

1

5

，OE＝1，tan∠EFO＝

5

．
所以二面角E-DB-C的正切值为

5

．
（Ⅲ）等体积法：
∵V_E-DBC=V_C-DBE，
∴

1

3

?

1

2

?BC?CD?EO＝

1

3

?

1

2

?BD?EF?d
?1×2×1＝

5

×

6 5

×d
∴d＝

6

3

故C到面EDB的距离为

6

3

．