Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=k(x-1)x．（I）当k=e时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间和极值；（

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=k(x-1)x．（I）当k=e时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ） 若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．

Answer 1

（Ⅰ）注意到函数f（x）的定义域为（0，+∞），
h（x）=lnx-

k(x-1)

x

(x＞0)，
当k=e时，h′(x)=

1

x

-

e

x2

=

x-e

x2

，
若0＜x＜e，则h′（x）＜0；若x＞e，则h′（x）＞0．
∴h（x）是（0，e）上的减函数，是（e，+∞）上的增函数，
故h（x）_min=h（e）=2-e，
故函数h（x）的减区间为（0，e），增区间为（e，+∞），极小值为2-e，无极大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知h′(x)=

1

x

-

k

x2

=

x-k

x2

，
当k≤0时，h′（x）＞0对x＞0恒成立，
∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，
注意到h（1）=0，∴0＜x＜1时，h（x）＜0不合题意．
当k＞0时，若0＜x＜k，h′（x）＜0；
若x＞k，h′（x）＞0．
∴h（x）是（0，k）上的减函数，是（k，+∞）上的增函数，
故只需h（x）_min=h（k）=lnk-k+1≥0．
令u（x）=lnx-x+1（x＞0），
u′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
当0＜x＜1时，u′（x）＞0； 当x＞1时，u′（x）＜0．
∴u（x）是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．
故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立．
∴当且仅当k=1时，h（x）≥0成立，
即k=1为所求．