Question

如图1，已知直线y=- x与抛物线y=- x 2 +6交于A，B两点。 （1）求A，B两点的坐标；（2）求

如图1，已知直线y=- x与抛物线y=- x 2 +6交于A，B两点。
（1）求A，B两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由。

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Answer 1

解：（1）依题意得 ，解之得 ， ∴A（6，-3），B（-4，2）； （2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点， 交AB于M（如图1）， 由（1）可知：OA=3 ，OB=2 ， ∴AB=5 ， ∴ ， 过B作BE⊥x轴，E为垂足， 由△BEO∽△OCM，得： ， ∴OC= ， 同理： ， ∴ ， 设CD的解析式为y=kx+b（k≠0） ∴ ，∴ ， ∴AB的垂直平分线的解析式为： ； （3）若存在点P使△APB的面积最大， 则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线y=- x+m上， 并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）， ∴ ， ∴ ， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴ ， ∴m= ， ∴P（1， ） 在直线GH： 中， ∴ ， ∴GH= ， 设O到GH的距离为d， ∵ ， ∵ ， ∴d= ， 又∵由AB∥GH， ∴P到AB的距离等于O到GH的距离d， ∴S最大面积= 。