Question

已知f（x）是奇函数，当x＞0时， f(x)= 2x+3 x+1 （I）当x＜0时，求f（x）的解析式；（II）用

已知f（x）是奇函数，当x＞0时， f(x)= 2x+3 x+1 （I）当x＜0时，求f（x）的解析式；（II）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

（I）当x＜0时，-x＞0，可得 f(-x)= 2(-x)+3 (-x)+1 ， 由于f（x）是奇函数，于是f（-x）=-f（x）， 所以当x＜0时， f(x)= 2x-3 1-x ．                               （4分） （II）证明：设x 1 ，x 2 是（0，+∞）上的任意两个实数，且x 1 ＜x 2 ， 则 f( x 1 )-f( x 2 )= 2 x 1 +3 x 1 +1 - 2 x 2 +3 x 2 +1 = x 2 - x 1 ( x 1 +1)( x 2 +1) 由0＜x 1 ＜x 2 ，得x 2 -x 1 ＞0，（x 1 +1）（x 2 +1）＞0， 于是f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0，即f（x 1 ）＞f（x 2 ） 所以函数 f(x)= 2x+3 x+1 在（0，+∞）上是减函数．                    （8分）