Question

△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E

△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的14时，求线段EF的长．

Answer 1

（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴

BD

DF

＝

EC

DE

．
∵BD=CD，
∴

CD

DF

＝

EC

DE

．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．  

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=

1

2

BC=6．
在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²，
∴AD=8
∴S_△ABC=

1

2

BC?AD=

1

2

×12×8=48．
S_△DEF=

1

4

S_△ABC=

1

4

×48=12．
又∵

1

2

AD?BD=

1

2

AB?DH，
∴DH=

AD?BD

AB

=

8×6

10

=

24

5

，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD   
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=

24

5

．
∵S_△DEF=

1

2

×EF×DG=12，
∴EF=

12

1 2 DG

=5．