Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，动点P在AB边上运动（点P不与点A、B重合），过点P

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，动点P在AB边上运动（点P不与点A、B重合），过点P作PE⊥BC于E，作∠MPD=90°，PD交BC边于点D．设BP=x，PE=h．（1）求h与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，△MPD与△ABC相似？

Answer 1

（1）过P作PE⊥BC于H，
则PE∥AC；
Rt△ABC中，AC=6，BC=8；
则AB=10．
∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10）
但是x不能等于5．
∵当x=5时，P为AB中点，PM∥AC，得到PD∥BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0＜x＜10 且x≠5，
易知△BPE∽△BAC，得：

PE

AC

＝

BP

AB

，PE=

AC?BP

AB

=

3

5

x，
∴h=

3

5

x；

（2）当D在BC上时，
①∠PMB=∠B时，BP=PM，ME=BE=2；
MP=x，AB=10，ME=2，BC=8，
此时△MPD∽△BCA，
∴△MPD∽△MEP，
∴△MEP∽△BCA，
∴

MP

AB

＝

ME

BC

，
即

x

10

＝

2

8

，解得x=

5

2

，
②∠PMB=∠A时，△DPM∽△BCA，得：

DP

BC

＝

DM

BA

，
即DP?BA=DM?BC；
∴10x=4×8，解得x=

16

5

，；
当D在BC延长线上时，
由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况；
当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM，
∵tan∠MAC=

2

3

，tanB=

3

4

，tan∠MAC＜tanB，
∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；
由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM；
所以△PDM和△ACB不可能相似；

综上所述，存在符合条件的P点，且x=2.5或3.2．