Question

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1，0＜x＜1，0＜y＜2x0， 其他．求：（Ⅰ）（X，Y）的边缘

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1，0＜x＜1，0＜y＜2x0， 其他．求：（Ⅰ）（X，Y）的边缘概率密度fX（x），fY（y）；（Ⅱ）Z=2X-Y的概率密度fZ（z）．（Ⅲ）P{Y≤12|X≤12}．

Answer 1

（ I）
求关于X的边际密度函数时就是对于f（x，y）的联合密度函数关于Y求积分，
所以：
关于X的边缘概率密度f_x（x）=

∫

+∞ ?∞

f(x，y)dy=

∫ 2x 0 dy，0＜x＜1 0        ，   其他

=

2x，0＜x＜1 0  ，  其他

关于Y的边缘概率密度f_y（y）=

∫

+∞ ?∞

f(x，y)dx=

∫ 1 y 2 dx，0＜y＜2 0，          其他

=

1? y 2 ， 0＜y＜2 0，            其他

（Ⅱ）
令F_Z（z）=P{Z≤z}=P{2X-Y≤z}
（1）当z＜0时，
F_Z（z）=P{2X-Y≤z}=0；
（2）当0≤z＜2时，
F_Z（z）=P{2X-Y≤z}=

?

0＜x＜ z 2 ，0＜y＜2x

dxdy+

?

z 2 ＜x＜1，2x?z＜y＜2x

dxdy=z?

1

4

z2；
（3）当z≥2时，
F_Z（z）=P{2X-Y≤z}=1；
即分布函数为：
FZ(z)＝

0，          z＜0 z? 1 4 z2，0≤z＜2 1            z≥2

，
故所求的概率密度为：
fz(z)＝

1? 1 2 z，0＜z＜2 0 ，         其他

（Ⅲ）
P{Y≤

1

2

|X≤

1

2

}=

P(X≤ 1 2 ，Y≤ 1 2 )

P(X≤ 1 2 )

=

? y 2 ＜x＜ 1 2 ，0＜y＜ 1 2 dxdy

? 0＜x＜ 1 2 ，0＜y＜2x dxdy

=

3 16

1 4

=

3

4

．