Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABDE，连接AD、BE，交点为O，且OC=

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABDE，连接AD、BE，交点为O，且OC= 4 2 ．（1）求证：OC平分∠ACB；（2）求BC的长．

Answer 1

（1）证明：延长CA到G，使AG=BC，连接GE， ∵四边形ABDE是正方形， ∴AB=AE，∠EAB=90°，∠EAO=∠AB0=45°，AO=BO=EO． ∴∠GAE=∠CBA， ∴∠GAE+∠EAO=∠CBA+∠ABO， 即∠GAO=∠CBO． 在△GAO和△CBO中， AG=BC ∠GAO=∠CBO AO=BO ， ∴△GAO≌△CBO ∴GO=CO，∠AGO=∠BCO． ∴∠AGO=∠ACO． ∴∠ACO=∠BCO， ∴OC平分∠ACB； （2）∵∠ACB=90°，OC平分∠ACB， ∴∠ACO=45°， ∴∠CGO=45°， ∴∠GOC=90． 在Rt△GOC中，由勾股定理，得 CG 2 =32+32， ∴CG=8， ∵AC=3， ∴AG=5， ∴BC=5． 答：BC的长5．