Question

（2013?河池）如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、C

（2013?河池）如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；（3）在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2+b2．在任意△ABC中，c2=a2+b2+k．就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABFG、BCED是正方形，
∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，
∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠ABD=∠CBF，
在△ABD和△FBC中，

AB＝FB ∠ABD＝∠CBF DB＝CB

，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；

（2）连接FD，设CF与AB交于点N，
∵△ABD≌△FBC，
∴AD=FC，∠BAD=∠BFC，
∴∠AMF=180°-∠BAD-∠CNA=180°-（∠BFC+∠BNF）=180°-90°=90°，
∴AD⊥CF，
∵AD=6，
∴FC=AD=6，
∴S_{四边形AFDC}=S_△ACD+S_△ACF+S_△DMF-S_△ACM，
=

1

2

AD?CM+

1

2

CF?AM+

1

2

DM?FM-

1

2

AM?CM，
=3CM+3AM+

1

2

（6-AM）（6-CM）-

1

2

AM?CM，
=18；

（3）∵在△ABC中，设BC=a=3，AC=b=2，AB=c，
∴a-b＜c＜a+b，即1＜c＜5，
∴1＜c²＜25，即1＜a²+b²+k=13+k＜25，
解得：-12＜k＜12．