已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°．P、Q分别为射线BC和线段CD上的动点，且CQ=2BP
已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°．P、Q分别为射线BC和线段CD上的动点，且CQ=2BP．（1）如图1，当点P为BC的中点...
已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°．P、Q分别为射线BC和线段CD上的动点，且CQ=2BP．（1）如图1，当点P为BC的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ；（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，设BP=x，△APQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）以点A为圆心AQ为半径作⊙A，以点B为圆心BP为半径作⊙B，当⊙A与⊙B相切时，求BP的长．
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（1）过点A作AM⊥CD，M为垂足，过点B作BN⊥CD，N为垂足
根据题意得：AM=BN，
AB=MN=4，DM=CN，
在直角三角形△CBN中，
∵∠DCB=60°，BC=2，CN=1，BN=
，
∴DM=1，AM=
，
∴CD=6（2分），
∵点P为BC的中点，且CQ=2BP，
∴CP=1，CQ=2，DA=2，DQ=4，
∴
＝
又∵∠QCP=∠D=60°，
∴△CPQ∽△DAQ（2分）；
（2）∵AB∥DC
∴
＝
，
∴
＝
∴CE＝
，
∴QE＝2x?
＝
（2分），
如图2，过点P作PH⊥CD交DC的延长线于H，
在直角三角形△CPH中，
∴∠PCH=60°，PC=x-2，PH＝
(x?2)，
∵S△APQ=S△PQE+S△AQE
∴y＝
×
(x?2)×
+
×
根据题意得：AM=BN，
AB=MN=4，DM=CN，
在直角三角形△CBN中，
∵∠DCB=60°，BC=2，CN=1，BN=
| 3 |
∴DM=1，AM=
| 3 |
∴CD=6（2分），
∵点P为BC的中点，且CQ=2BP，
∴CP=1，CQ=2，DA=2，DQ=4，
∴
| CP |
| DA |
| CQ |
| DQ |
又∵∠QCP=∠D=60°，
∴△CPQ∽△DAQ（2分）；
（2）∵AB∥DC
∴
| PC |
| PB |
| CE |
| AB |
∴
| x?2 |
| x |
| CE |
| 4 |
∴CE＝
| 4x?8 |
| x |
∴QE＝2x?
| 4x?8 |
| x |
| 2x2?4x+8 |
| x |
如图2，过点P作PH⊥CD交DC的延长线于H，
在直角三角形△CPH中，
∴∠PCH=60°，PC=x-2，PH＝
| ||
| 2 |
∵S△APQ=S△PQE+S△AQE
∴y＝
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2x2?4x+8 |
| x |
| 1 |
| 2 |
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