Question

已知函数f（x）=ax3-3x2+3x（a＞0）（1）当a≥1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[1，3]的最大值

已知函数f（x）=ax3-3x2+3x（a＞0）（1）当a≥1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[1，3]的最大值为8，求a的值．

Answer 1

（1）f′（x）=3ax²-6x+3，其判别式△=36-36a=36（1-a），
∵a≥1，∴△≤0，对任意实数，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（2）当a≥1时，由（1）可知，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f（x）在[1，3]的最大值为f（3），由f（3）=8，解得 a＝

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（不符合，舍去）；
当0＜a＜1时，△=36-36a=36（1-a）＞0，方程3ax²-6x+3=0的两根为x1＝

1? 1?a

a

，x2＝

1+ 1?a

a

，
f′（x）=3ax²-6x+3图象的对称轴x＝

1

a

，
∵x₁-1=

1? 1?a

a

?1＝

1?a ( 1?a ?1)

a

＜0，∴0＜x1＜1＜

1

a

＜x2，
由x₂=3，解得 a＝

5

9

，
①当0＜a＜

5

9

，x₂＞3，
∵f′（1）=3（a-1）＜0，f'（3）=3（9a-5）＜0，且f'（x）的图象开口向上，
∴x∈[1，3]时，f′（x）＜0，f（x）在[1，3]是减函数，f（x）在[1，3]的最大值y_max=f（1），
由f（1）=8，解得 a=8（不符合，舍去）．
②当

5

9

≤a＜1，x₂≤3，x∈[1，x₂]，f′（x）＜0