Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点P从点B开始沿BC边以每秒1cm的速度向点C运动，点Q从点C开始沿

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点P从点B开始沿BC边以每秒1cm的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2cm的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E，点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、P停止运动，设它们运动的时间为xcm。（1）当x=_______秒时，射线DE经过点C；（2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为ycm 2 ，求y与x的函数关系式（不用写出自变量取值范围）；（3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）x=2； 当DE经过点C时， ∵DE⊥PQ，PD=QD， ∴PC=CQ，PC=6-x，CQ=2x， 即6-x=2x，得x=2， ∴当x=2时，当DE经过点C；
（2）分别过点Q、A作QN⊥BC，AM⊥BC垂足为M、N， ∵AB=AC=5cm，BC=6cm， ∴ （cm） ∵QN∥AM，∴△QNC～△AMC， ∴ ，即 ， 又PC=6-x， ∴ ∴ 即 ；
（3）存在．理由如下： ∵DE⊥PQ， ∴PQ⊥AC时△PQC∽△PDE， 此时，△PQC∽△AMC， ∴ 即 ∴ 。