Question

已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m 2 -3m恒成立；命题q：存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立

已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m 2 -3m恒成立；命题q：存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立（Ⅰ）若p为真命题，求m的取值范围；（Ⅱ）当a=1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．（Ⅲ）若a＞0且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m 2 -3m恒成立 ∴ (2x-2 ) min ≥ m 2 -3m ， 即m 2 -3m≤-2， 解得1≤m≤2， 即p为真命题时，m的取值范围是[1，2]． （Ⅱ）∵a=1，且存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立 ∴m≤1 即命题q满足m≤1． ∵p且q为假，p或q为真 ∴p、q一真一假． 当p真q假时，则 1≤m≤2 m＞1 ，即1＜m≤2， 当p假q真时， m＜1或m＞2 m≤1 ，即m＜1． 综上所述，m＜1或1＜m≤2． （Ⅲ）∵a＞0存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立， ∴命题q满足m≤a， ∵p是q的充分不必要条件， ∴a≥2．