Question

二元函数f（x，y）在点（x0，y0）处两个偏导数f′x（x0，y0）、f ′y（x0，y0）存在是f（x，y）在该点连

二元函数f（x，y）在点（x0，y0）处两个偏导数f′x（x0，y0）、f ′y（x0，y0）存在是f（x，y）在该点连续的（　　）A．充分条件而非必要条件B．必要条件而非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件又非必要条件

Answer 1

充分性：设f（x，y）=

x+y xy    xy≠0 0         xy＝0

令x=y；f（x，y=x）=

2 x      x≠0 0      x＝0

显然当x→0⁺时，

lim

x→0+

f（x，y=x）=+∞；当x→0^-时，

lim

x→0+

f（x，y=x）=-∞
而f（0，0）=0
因此：f（x，y）在（0，0）不连续．

?f

?x

=

lim

△x→0

f(x+△x，y)?f(x，y)

△x

?f

?x

|

0 0

=

lim

△x→0

f(△x+0，0)?f(0，0)

△x

=

lim

△x→0

0?0

△x

=0
同理可以得到：

?f

?y

|

0 0

=0
因此可知：f（x，y）在（0，0）处两个偏导数都存在，但是函数不连续，故充分性不成立．
必要性：设f（x，y）=|x|
显然可知，函数f（x，y）在定义域内连续．
但是显然可知有：
fx，(0+，0)=1；而fx′(0?，0)=-1；
fx，(0+，0)≠fx′(0?，0)
f（x，y）在（0，0）处对x的左右偏导不相等，
因此f（x，y）在（0，0）处x的偏导数不存在
故必要性不成立．
综上所述：二元函数f（x，y）在点（x₀，y₀）处两个偏导数

f

′ x

（x₀，y₀）、f

′ y

（x₀，y₀）存在是f（x，y）在该点连续的既不充分也不必要条件，
故选：D．