Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x）在x∈R的解析式；（

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x）在x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）-2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

（ 1）当x＜0时，-x＞0，
∵函数f（x）是偶函数，故f（-x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x²+2x…（2分）
所以f（x）=f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，…（4分）
所以f（x）=

x2+2x，x≥0 x2?2x，x＜0

，
（2）∵g（x）=f（x）-2ax+2=x²+2（1-a）x+2的图象开口朝上且以直线x=a-1为对称，
又∵x∈[1，2]，
当a-1≤1时，g（x）在[1，2]上为增函数，故当x=1时，g（x）取最小值5-2a，
当1＜a-1≤2时，g（x）在[1，a-1]上为减函数，在[a-1，2]上为增函数，故当x=a-1时，g（x）取最小值-a²+2a+1，
当a-1＞2时，g（x）在[1，2]上为减函数，故当x=2时，g（x）取最小值10-4a，
综上：函数g（x）的最小值为

5?2a，a≤2 ?a2+2a+2，2＜a≤3 10?4a，a＞3