Question

直线l：y=x+a（a≠0）和曲线C：y=x3-x2+1相切，求a的值及切点坐标

直线l：y=x+a（a≠0）和曲线C：y=x3-x2+1相切，求a的值及切点坐标．

Answer 1

设直线l与曲线C相切于点P（x₀，y₀），则y=x³-x²+1的导数y′=3x²-2x．
由题意知直线l的斜率k=1，即3x₀²-2x₀=1，解得x₀=-

1

3

或x₀=1．
因此，切点的坐标为（-

1

3

，

23

27

），或（1，1）．
当切点为（-

1

3

，

23

27

）时，有

23

27

=-

1

3

+a，∴a=

32

27

；
当切点为（1，1）时，1=1+a，a=0（舍去）．
所以a的值为

32

27

，切点坐标为（-

1

3

，

23

27

）．