Question

如图1，在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为 的中

如图1，在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为 的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8。 （1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P，动点F在⊙M的圆周上运动时， 的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律。

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Answer 1

解：（1）连接ME，DM。 易知A，C是弧AE，弧CD的中点， 且弧AE=弧CD ∴DC=AE=8 ∴OC=4 ∴C坐标为（0，4）或（0，-4）。 （2）连接MC，交AE于H。 则MC⊥AE，易知MH=MO ∴MG为∠CMA的角平分线 ∵∠CMA=∠ACD+∠CAE（∠CAE=∠ACD） ∴1/2∠CMA=∠ACE ∴Rt△GOM∽Rt△AOC ∵Rt△AOC∽Rt△OCB ∴Rt△GOM∽Rt△0CB     ∴∠GMO=∠CBO ∴MG‖CB。 （3）连接MF。 设圆M的半径为R， 在RT△ODM中，DM 2 =OD 2 +OM 2 R 2 =4 2 +（R-2） 2    ∴R=5  ∴MO=MA-OA=5-2=3 易知△ODM为Rt△， ∴OD 2 =OM×OP ∴OP=16/3，OM=25/3  MF=5，OM=3 ∵OM/MF=3/5， MF/PM=3/5  ∴OM/MF=MF/PM  ∴△OMF∽△FMP  ∴OF/PF=OM/MF=3/5。