Question

已知定义在R的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log 2 （x+1），下面四种说法①

已知定义在R的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log 2 （x+1），下面四种说法①f（3）=1；②函数f（x）在[-6，-2]上是增函数；③函数f（x）关于直线x=4对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和为-8，其中正确的序号______．

Answer 1

取x=1，得f（1-4）=f（-3）=-f（1）=-log 2 （1+1）=-1，所以f（3）=-f（-3）=1，故①正确； 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），则f（x-4）=f（-x）， ∴f（x-2）=f（-x-2）， ∴函数f（x）关于直线x=-2对称， 由于函数对称中心原点（0，0）的对称点为（4，0），故函数f（x）也关于（4，0）点对称，故③不正确； ∵x∈[0，2]时，f（x）=log 2 （x+1）为增函数， 由奇函数在对称区间上单调性相同可得，x∈[-2，0]时，函数为单调增函数， ∴x∈[-2，2]时，函数为单调增函数， ∵函数f（x）关于直线x=-2对称，∴函数f（x）在[-6，-2]上是减函数，故②不正确； 若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为-8．故④正确 故答案为：①④