Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=30°。 （1）求证：EF⊥PB；（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P-EFCB的体积。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∵EF∥BC，AB⊥BC， ∴EF⊥AB ∴EF⊥EB，EF⊥EP 又∵EB∩EP=E ∴EF⊥平面PEB PB 平面PEB， ∴EF⊥PB。 （2）由（1）知EF⊥平面PEB， 又∵EF 平面BCFE ∴平面BCFE⊥平面PEB 又∵平面BCFE∩平面PEB=BE， 在平面PEB内，过P点作PD⊥BE于D， ∴PD⊥平面BCFE， 设PE=x，x∈（0，4），则BE=4-x 在Rt△PED中，∵∠PEB=30°， ∴ ∴   当且仅当x=2．即E为AB的中点时，△PEB面积最大 此时 易得S 梯形EFCB = ∴ S 梯形EFCB × 。