Question

已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时 1ln(x+1)

已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时 1ln(x+1)?1x＜12恒成立；（3）若(1+1n)n+a≥e对任意的n∈N*都成立（其中e是自然对数的底），求常数a的最小值．

Answer 1

（1）解：当a=1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，则f′（x）=ln（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得-1＜x＜0，
∴函数的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-1，0）；
（2）证明：当x＞0时，欲证

1

ln(x+1)

?

1

x

＜

1

2

恒成立，只需证明当x＞0时，ln(x+1)＞

2x

x+2

构造函数g（x）=ln(x+1)?

2x

x+2

，则g′（x）=

1

x+1

?

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

＞0
∴g（x）=ln(x+1)?

2x

x+2

在（0，+∞）上单调递增
∴g（x）＞g（0）=0
∴当x＞0时，ln(x+1)＞

2x

x+2

∴当x＞0时，

1

ln(x+1)

?

1

x

＜

1

2

恒成立；
（3）解：(1+

1

n

)n+a≥e等价于（n+a）ln（1+

1

n

）≥1
∴a≥

1

ln(1+ 1 n )

?n
∵当x＞0时，

1

ln(x+1)

?

1

x

＜

1

2

恒成立，∴

1

ln(1+ 1 n )

?n＜

1

2

∴a≥

1

2

∴常数a的最小值为

1

2

．