Question

已知函数 f（x）=ex（ax2+a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

已知函数 f（x）=ex（ax2+a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f(x)≥2e2对任意x∈[-2，-1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）解：当a=-1时，f（x）=-x²e^x，f（1）=-e．f'（x）=-x²e^x-2xe^x，…（2分）
因为切点为（1，-e），则k=f'（1）=-3e，…（4分）
所以在点（1，-e）处的曲线的切线方程为：y=-3ex+2e．    …（5分）
（Ⅱ）解：由题意得，f(?2)＝e?2(4a+a+1)≥

2

e2

，即a≥

1

5

．      …（9分）
（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分）f'（x）=e^x（ax²+2ax+a+1）=e^x[a（x+1）²+1]，…（10分）
因为a≥

1

5

，所以f'（x）＞0恒成立，
故f（x）在[-2，-1]上单调递增，…（12分）
要使f(x)≥

2

e2

恒成立，则f(?2)＝e?2(4a+a+1)≥

2

e2

，解得a≥

1

5

．…（15分）