已知函数 f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).(Ⅰ)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
已知函数f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).(Ⅰ)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若f(x)≥2e2对任意x∈[-2,-1]...
已知函数 f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).(Ⅰ)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若f(x)≥2e2对任意x∈[-2,-1]恒成立,求实数a的取值范围.
展开
1个回答
展开全部
(Ⅰ)解:当a=-1时,f(x)=-x2ex,f(1)=-e.f'(x)=-x2ex-2xex,…(2分)
因为切点为(1,-e),则k=f'(1)=-3e,…(4分)
所以在点(1,-e)处的曲线的切线方程为:y=-3ex+2e. …(5分)
(Ⅱ)解:由题意得,f(?2)=e?2(4a+a+1)≥
,即a≥
. …(9分)
(注:凡代入特殊值缩小范围的均给4分)f'(x)=ex(ax2+2ax+a+1)=ex[a(x+1)2+1],…(10分)
因为a≥
,所以f'(x)>0恒成立,
故f(x)在[-2,-1]上单调递增,…(12分)
要使f(x)≥
恒成立,则f(?2)=e?2(4a+a+1)≥
,解得a≥
.…(15分)
因为切点为(1,-e),则k=f'(1)=-3e,…(4分)
所以在点(1,-e)处的曲线的切线方程为:y=-3ex+2e. …(5分)
(Ⅱ)解:由题意得,f(?2)=e?2(4a+a+1)≥
2 |
e2 |
1 |
5 |
(注:凡代入特殊值缩小范围的均给4分)f'(x)=ex(ax2+2ax+a+1)=ex[a(x+1)2+1],…(10分)
因为a≥
1 |
5 |
故f(x)在[-2,-1]上单调递增,…(12分)
要使f(x)≥
2 |
e2 |
2 |
e2 |
1 |
5 |
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询