Question

已知函数f（x）=（x2-a+1）ex．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）已知x

已知函数f（x）=（x2-a+1）ex．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）已知x1，x2为f（x）的两个不同极值点，x1＜x2，且|x1+x2|≥|x1x2|-1，若g（x1）=f（x1）+（x12-2）ex1，证明g（x1）≤6e2．

Answer 1

（1）解：a=2时，f（x）=（x²-1）e^x，f（1）=0，即切点是（1，0）
f′（x）=2xe^x+（x²-1）e^x=（x²+2x-1）e^x，
∴k=f′（1）=2e，即切线斜率k=2e
所以，由点斜式可写出切线方程为：y=2e（x-1），即2ex-y-2e=0
（2）证明：令f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x=0，
∵x₁，x₂为f（x）的两个不同极值点
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=-a+1
因为|x₁+x₂|≥|x₁x₂|-1，所以2≥|-a+1|-1，所以-2≤a≤4．
又由△＞0得a＞0，所以0＜a≤4，
又由f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x=0，x₁＜x₂，解得x₁=-1-

a

因为0＜a≤4，所以x₁=-1-

a

∈[-3，-1）
g（x₁）=f（x₁）+（x₁²-2）e^x₁=（2x₁²-a-1）e^x₁，
又因为x₁=-1-

a

，所以a=x₁²+2x₁+1，所以g（x₁）=（x₁²-2x₁-2）e^x₁，所以g′（x₁）=（x₁²-4）e^x₁，
令g′（x₁）=（x₁²-4）e^x₁=0得x₁=-2或2，
在区间[-3，-1）上，g（x₁），g′（x₁）变化状态如下表：

x1	-3	（-3，-2）	-2	（-2，-1）
g（x1）		+	0	-
g′（x1）		增	极大值	减

所以当x₁=-2时，g（x₁）取得最大值

6

e2

，所以g（x₁）≤

6

e2

．