Question

已知函数f（x）=x2-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线

已知函数f（x）=x2-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）∵a=1时，f（x）=x²-4x+2lnx，
∴f′(x)＝

2x2?4x+2

x

(x＞0)，
则f（1）=-3，f'（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-3；
（Ⅱ）f′(x)＝

2x2?2(a+1)x+2a

x

＝

2(x?1)(x?a)

x

(x＞0)，
由f'（x）=0，得x₁=a，x₂=1，
当0＜a＜1时，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，
在x∈（a，1）时f'（x）＜0，
f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
当a=1时，在x∈（0，+∞）时f'（x）≥0，
∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）．
当a＞1时，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）时f'（x）＞0，
在x∈（1，a）时f'（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．