Question

已知函数 f(x)＝12x2?2alnx+(a?2)x，a∈R．（Ⅰ）当 a=1时，求函数 f（x）的最小值；（Ⅱ）当a＜0时，讨

已知函数 f(x)＝12x2?2alnx+(a?2)x，a∈R．（Ⅰ）当 a=1时，求函数 f（x）的最小值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数 f（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有f(x2)?f(x1)x2?x1＞a恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由f(x)＝

1

2

x2?2alnx+(a?2)x，
当a=1时，f(x)＝

1

2

x2?2lnx?x，
f′(x)＝x?

2

x

?1＝

x2?x?2

x

＝

(x+1)(x?2)

x

．
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（2，+∞），f'（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）在x=2时取得最小值，其最小值为f（2）=-2ln2．
（Ⅱ）∵f′(x)＝x?

2a

x

+(a?2)＝

x2+(a?2)x?2a

x

＝

(x?2)(x+a)

x

，
∴（1）当-2＜a＜0时，若x∈（0，-a），f'（x）＞0，f（x）为增函数；
若x∈（-a，2），f'（x）＜0，f（x）为减函数；
若x∈（2，+∞），f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当a=-2时，在（0，+∞）上f^′（x）≥0，f（x）为增函数；
（3）当a＜-2时，若x∈（0，2），f'（x）＞0，f（x）为增函数；
若x∈（2，-a），f'（x）＜0，f（x）为减函数；
若x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)?f(x1)

x2?x1

＞a恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，只要

f(x2)?f(x1)

x2?x1

＞a，即：f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁．
令g（x）=f（x）-ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数即可．
又函数g(x)＝

1

2

x2?2alnx?2x．
考查函数g′(x)＝x?

2a

x

?2＝

x2?2x?2a

x

＝

(x?1)2?1?2a

x

要使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要-1-2a≥0，即a≤?

1

2

，
故存在实数a∈(?∞，?

1

2

]，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
有

f(x2)?f(x1)

x2?x1

＞a恒成立．