Question

如图，已知△ABC是边长为5的等边三角形，△ACD△ABC以直线AC为对称轴翻折得到的．在射线BC上有动点P，作

如图，已知△ABC是边长为5的等边三角形，△ACD△ABC以直线AC为对称轴翻折得到的．在射线BC上有动点P，作∠PAQ=60°，AQ交射线CD于点Q．（1）转动∠PAQ，当点PQ落在线段BC、CD上时，请说明△APQ是等边三角形；（2）转动∠PAQ，当点PQ落在线段BC、CD的延长线上时，△APQ是否仍是等边三角形？请说明理由；（3）当PD⊥AQ时，求出BP的长度．（不必写计算理由）．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，

∠BAP＝∠CAQ   AB＝AC ∠B＝∠ACD

，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；

（2）如图2，△APQ仍是等边三角形；
证明：∵△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AC=AD，∠ACP=∠ADQ=120°，
∴∠CAP+∠DAP=60°，
又∵∠DAQ+∠DAP=60°，
∴∠CAP=∠DAQ，
在△ACP与△ADQ中，

∠ACP＝∠ADQ＝120° AC＝AD ∠CAP＝∠DAQ

，
∴△ACP≌△ADQ（ASA）
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；

（3）解：如图3，BP=10或BP=0．