Question

（2014?东城区一模）如图，AB是⊙O的直径，点E是BD上一点，∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2

（2014?东城区一模）如图，AB是⊙O的直径，点E是BD上一点，∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是BD的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．





Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=∠AED=∠CAD，∠C=∠C，∴∠C+∠CAD=∠C+∠B=90°．
∴∠BAC=∠ADC=90°．
即AB⊥AC于点A．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠ACD=∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴

AC

BC

＝

CD

AC

．即AC²=BC×CD=36．
解得 AC=6．
∵点E是

BD

的中点，
∴∠DAE=∠BAE．
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2．