Question

设函数f（x）=|x-3|-|x+1|，x∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜-1；（Ⅱ）设函数g（x）=|x+a|-4，且g（x）≤f

设函数f（x）=|x-3|-|x+1|，x∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜-1；（Ⅱ）设函数g（x）=|x+a|-4，且g（x）≤f（x）在x∈[-2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x-3|-|x+1|=

4 ，x＜?1 2?2x ，?1≤x≤3 ?4  ，x＞3

，
故由不等式f（x）＜-1可得 x＞3 或 

2?2x＜?1 ?1≤x≤3

．
解得 x＞

3

2

．
（Ⅱ）∵函数g（x）=|x+a|-4，且g（x）≤f（x）在
x∈[-2，2]上恒成立，
∴|x+a|-4≤|x-3|-|x+1|在x∈[-2，2]上恒成立，
在同一个坐标系中画出函数y=f（x）和y=g（x）的图象，如图所示：
故当x∈[-2，2]时，若0≤-a≤4时，
则函数g（x）在函数f（x）的图象的下方，g（x）≤f（x）在x∈[-2，2]上恒成立，
求得-4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[-4，0]．