Question

如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,CD=BD,BE平分∠ABC,,点H是BC边上的中点

如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,CD=BD,BE平分∠ABC,,点H是BC边上的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG.
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：CE=1/2BF；
（3）判断△ECG的形状，并证明你的结论。

Answer 1

【纠正：AB=BC】
①证明：
∵CD⊥AB
∴∠ADC=∠FDB=90°【A】
∵CD=BD【S】
∴∠ABC=∠BCD=45°
∵AB=BC
∴∠A=∠BCA=（180°-∠ABC）÷2=67.5°
∴∠ACD=∠BCA-∠BCD=67.5°-45°=22.5°
∵BE平分∠ABC
∴∠DBF=1/2∠ABC=22.5°
∴∠ACD=∠DBF【A】
∴△ADC≌△FDB（ASA）
②证明：
∵△ADC≌△FDB
∴AC=BF
∵AB=BC，BE平分∠ABC
∴CE=AE=1/2AC（等腰三角形三线合一）
∴CE=1/2BF
③△ECG是等腰直角三角形
证明：
∵AB=BC，BE平分∠ABC
∴BE⊥AC（等腰三角形三线合一）
∴△ECG是直角三角形
∵CD=BD，H是BC的中点
∴DH⊥BC（等腰三角形三线合一）
即DH垂直平分BC
∴BG=CG（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴∠BCG=∠CBG=22.5°
∴∠ECG=∠BCA-∠BCG=67.5°-22.5°=45°
∴△ECG是等腰直角三角形