（2012?枣阳市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE
（2012?枣阳市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）试判断DE与⊙O的位置关系并证明；（...
（2012?枣阳市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）试判断DE与⊙O的位置关系并证明；（2）求证：BC2=2CD?OE；（3）若tanC=52，DE=2，求AD的长．
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（1）解：DE与⊙O相切．理由如下
：
连接OD，BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=EC，
∴∠EBD=∠EDB，
又∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠EDO=∠EBO=90°，即OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠ACB=∠BCD，
∴Rt△ABC∽Rt△BDC，
∴
=
，即BC2=CD?AC，
∴BC2=2CD?OE；
（3）解：在Rt△BDC中，
∵DE=BE=EC，
∴BC=2DE=4，
∵tanC=
=
，
∴设BD=
x，CD=2x，
∵BD2+CD2=BC2，
∴（
x）2+（2x）2=42，
解得x=±
（负值舍去），
∴x=
，
∴BD=
x=
，
在Rt△ABD中，∵∠ABD=∠C，
∴tan∠ABD=tan∠C，
∴
=
：连接OD，BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=EC，
∴∠EBD=∠EDB，
又∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠EDO=∠EBO=90°，即OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠ACB=∠BCD，
∴Rt△ABC∽Rt△BDC，
∴
| BC |
| CD |
| AC |
| BC |
∴BC2=2CD?OE；
（3）解：在Rt△BDC中，
∵DE=BE=EC，
∴BC=2DE=4，
∵tanC=
| ||
| 2 |
| BD |
| DC |
∴设BD=
| 5 |
∵BD2+CD2=BC2，
∴（
| 5 |
解得x=±
| 4 |
| 3 |
∴x=
| 4 |
| 3 |
∴BD=
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
在Rt△ABD中，∵∠ABD=∠C，
∴tan∠ABD=tan∠C，
∴
| AD |
| BD |
|
