Question

（2013?衡水二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E、F，连

（2013?衡水二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E、F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF=4，tan∠OAE=23，求四边形AECF的面积．

Answer 1

证明：如图，
∵AB∥DC，
∴∠1=∠2．
在△CFO和△AEO中，

∠1＝∠2 ∠FOC＝∠EOA OC＝OA

，
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．

（2）∵四边形AECF是菱形，EF=4，
∴OE=

1

2

EF=2．
在在Rt△AEO中，
∵tan∠OAE=

OE

OA

=

2

3

，
∴OA=3，
∴AC=2AO=6，
∴四边形AECF的面积=

1

2

×4×6=12．