Question

如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO

如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC=BO．设AC=xkm．（1）若AO=1033km，求出x的取值；（2）用x分别表示OA2+OB2和OA?OB，并求出x的取值范围．

Answer 1

（1）在△OAB中，AO=

10 3

3

km，∠AOB=60°，AB=10km，
由余弦定理知：AB²=OA²+OB²-2?OA?OB?cos60°，
即有：100=

100

3

+OB²-2×

10 3

3

×OB×

1

2

，从而解得：OB=

20 3

3

．
在△OAC中，OC=OB=

20 3

3

，OA=

10 3

3

，∠AOC=120°，
由余弦定理知：AC²=OA²+OC²-2?OA?OC?cos120°，
即有：AC²=

400

3

+

100

3

-2×

20 3

3

×

10 3

3

×(?

1

2

)=

700

3

，从而解得：AC=

10 21

3

．
（2）在△OAC中，∠AOC=120°，AC=x，
由余弦定理得，OA²+OC²-2OA?OC?cos120°=x²，
又OC=BO，
所以OA²+OB²-2OA?OB?cos120°=x² ①，…（7分）
在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°
由余弦定理得，
OA²+OB²-2OA?OB?cos60°=100 ②，…（9分）
①+②得OA²+OB²=

x2+100

2

，
①-②得4OA?OB?cos60°=x²-100，即OA?OB=

x2?100

2

，…（10分）
又OA²+OB²≥2OA?OB，所以

x2+100

2

≥2x

x2?100

2

，即x²≤300，
又OA?OB=

x2?100

2

＞0，即x²＞100，所以10＜x≤10

3

      …（12分）