Question

设数列{an}的前n项和为Sn,已知s1=1,s2=2,当n>=2时,sn+1-sn-1=2^n

(1)求证：an+2-an=2^n
(2)求数列(an)的通项公式
主要是第二小问

Answer 1

1）因为S(n+1)-S(n-1)=a(n+1)+an,
所以有a(n+1)+an=2^n 1)
从而也有a(n+2)+a(n+1)=2^(n+1) 2)
等式2）减去等式1）得：
a(n+2)-an=2^n
得证
2）由a(n+1)+an=2^n
得：a(n+1)=-an+2^n
可化为：a(n+1)-1/3*2^(n+1)=-[an-1/3*2^n]
即{an-1/3*2^n}是公比为-1的等比数列，首项为a1-2/3=s1-2/3=1-2/3=1/3
故an-1/3*2^n=1/3*(-1)^(n-1)
得an=[2^n-(-1)^n]/3