Question

谁能告诉我 y=x2 和y=x围成的区域如何用极坐标表示

Answer 1

根据图示先画出平面坐标系下的区域D，极坐标表示为D区域下的∫（0，1）dx∫（x²，x）dy其中积分后的括号分别表示积分下限和积分上限。

按照积分的坐标转换法则可得到首先将区域边界转化为极坐标形式：y＝x²对应rsinθ＝r²cos²θ化简为r＝sinθ／cos²θ∫（0，pi／4）dθ∫（sinθ／cos²θ，1）rdr

令x＝rcosθ，y＝rsinθ

x＝0，x＝1，y＝0，y＝x²

交点是（0，0），（1，1）

θ＝0到θ＝arctan（1／1）＝π／4

rsinθ＝r²cos²θ

r＝sinθ／cos²θ＝secθtanθ

所以

∫（0～1）∫（0～x²）ƒ（x，y）dydx

＝∫（0～π／4）∫（0～secθtanθ）ƒ（rcosθ，rsinθ）rdrdθ。

扩展资料

极坐标下扇形面积公式：

扇形顶点为极点，一个边为极轴．

设：扇形顶角为θ（弧度），半径为R．

则扇形面积S＝（1／2）θR²．

例：面积a＝1／2（ρ＋△ρ）＾2＊△θ－1／2＊ρ＾2＊△θ：

微段弧长为ds＝Rdθ，微扇形面积为dA＝1／2R＾2dθ＝1／2（2cosθ）＾2dθ．

面积A＝∫（0－2π）1／2（2cosθ）＾2dθ＝∫1＋cos2θdθ＝2π

sinA＝√3sinC＝√3sin（150°－A）＝√（1／2cosA＋√3sinA）

＝√3／2cosA＋1／2sinA＝sin（60＋A）＝0，A＝120°。

Answer 2

根据图示先画出平面坐标系下的区域D,极坐标表示为 D区域下的 ∫(0,1)dx∫(x²,x) dy
其中积分后的括号分别表示积分下限和积分上限.按照积分的坐标转换法则可得到
首先将区域边界转化为极坐标形式：y=x² 对应  rsinθ=r²cos²θ 化简为  r=sinθ/cos²θ
 ∫(0,pi/4)dθ∫(sinθ/cos²θ,1) rdr

令x = rcosθ，y = rsinθ

x = 0，x = 1，y = 0，y = x²

交点是(0，0)，(1，1)

θ = 0 到 θ = arctan(1/1) = π/4

rsinθ = r²cos²θ

r = sinθ/cos²θ = secθtanθ

所以

∫(0~1)∫(0~x²) ƒ(x，y) dydx

= ∫(0~π/4)∫(0~secθtanθ) ƒ(rcosθ，rsinθ) rdrdθ 

追问

呵呵 你上下两个结果不一样，哪个是对的呢

追答

用极坐标表示：
∫(0,pi/4)dθ∫(sinθ/cos²θ,1) rdr

Answer 3

由三角几何关系可知：x=ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ

y=x∧2的极坐标方程：ρ·sinθ=(ρ·cosθ)∧2 ，整理后得：ρ=sinθ/cos²θ

y=x的极坐标方程：θ＝π/4 和 θ＝3π/4

所以围成的区域D=∫（0，π/4）dθ∫（sinθ/cos²θ，1）ρ dρ

注：（0，π/4）和（sinθ/cos²θ，1）分别表示上下限

追问

1是怎么来的

追答

抱歉这里我打错了ρ的上限应该为√2
因为y=x2 和 y=x的交点坐标是（0,0）和（1,1），ρ的最大值为√2
所以围成的区域D=∫（0，π/4）dθ∫（sinθ/cos²θ，√2）ρ dρ

Answer 4

根据图示先画出平面坐标系
下的区域D，极坐标
表示为D区域下的∫（0，1）dx∫（x²，x）dy其中积分后的括号分别表示积分下限和积分上限。
按照积分的坐标转换法则可得到首先将区域边界转化为极坐标形式：y＝x²对应rsinθ＝r²cos²θ化简为r＝sinθ／cos²θ∫（0，pi／4）dθ∫（sinθ／cos²θ，1）rdr
令x＝rcosθ，y＝rsinθ
x＝0，x＝1，y＝0，y＝x²
交点是（0，0），（1，1）
θ＝0到θ＝arctan（1／1）＝π／4
rsinθ＝r²cos²θ
r＝sinθ／cos²θ＝secθtanθ
所以
∫（0～1）∫（0～x²）ƒ（x，y）dydx
＝∫（0～π／4）∫（0～secθtanθ）ƒ（rcosθ，rsinθ）rdrdθ。

Answer 5

带入y=r*sin@,x=r*cos@,用手机打字没有专用符号，@指角度