Question

假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为

假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面上距地面高度为h处的重力加速度大小之比为

Answer 1

设地球的质量是M，设想有一个质量是m的物体，它在地面时，有
GMm / R^2＝mg
即地面处的重力加速度是　g＝GM / R^2
　　在距地面高度是 h 处的物体，有
GM m / ( R＋h )^2＝m * g空
即离地高度是 h 的地方的重力加速度是　g空＝GM / ( R＋h )^2
　　在矿井底部，物体受到的万有引力大小是
F万＝G * M1 * m / ( R－d )^2＝m * g底
式中　M1 是以地心为球心、半径是（R－d）的球体的质量。
由于地球是“质量分布均匀的球体”，所以有　M / R^3＝M1 / ( R－d)^3
得　M1＝M * ( R－d)^3 / R^3
即　G * [ M * ( R－d )^3 / R^3 ] * m / ( R－d )^2＝m * g底
得矿井底部处的重力加速度是　g底＝GM ( R－d) / R^3
　　可见，矿井底部处的重力加速度与距地面为 h 高处的重力加速度之比是
g底 / g空＝[ GM ( R－d) / R^3 ] / [ GM / ( R＋h )^2 ]＝( R－d)*( R＋h )^2 / R^3

追问

但是题中说引力为零是什么意思

Answer 2

追问

追答

答案是A （R-d）/R