Question

求无穷级数怎么求

急 速度

Answer 1

　　无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；

        发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。可用无穷级数方法求和的包括：数项级数、函数项级数（又包括幂级数、傅氏级数；复变函数中的泰勒级数、洛朗级数。

　　性质

　　1） 级数收敛的一个必要条件是它的通项以0为极限。

　            　证：    

　　2） 若有一个无穷级数 ：每一项乘以一个常数a，则其和等于as。

　             　即：

　　3） 收敛级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：，

　　             则：，,这可由极限的加减法性质推出

　　4） 级数中去掉或加上或改变有限项不影响其收敛性，

　             　如：和这两个级数的敛散性是一样的，但极限值不一定相等。

　　5） 收敛级数的部分和数列的子数列也收敛（逆否命题也成立），并且其和就是原级数的和；若收敛，则未必收敛。

　　6） 3的推论：如果任意有限个无穷级数都是收敛的，那么它们任意的线性组合也必定是收敛的。注意对于都是发散的级数，则不存在类似的结论。

　　7） 5的推论：若级数收敛，则收敛，其所对应的新的级数（通项：）必收敛（逆否命题也成立）；若仅收敛，则级数未必收敛。

Answer 2

一、利用定义求和:求出
∑∞
n=2
lnun
的部分和
sn,然后求limn→∞
sn。
例1 求
∑∞
n=?
ln
1-1
n
2
的和。
解 un=ln1-1
n
2
=ln(n+1)-2lnn+ln(n-1)。
因此,
∑∞
n=2
un
的部分和为
sn=[ln3-2ln2+ln1]+[ln4+2ln3+ln2]+…+[ln(n+1)-2lnn+ln(n-1)]=
-ln2+ln1+
1n
。
因而,
∑∞
n=1
un
的和为
s=limn=∞
=sn=-ln2。
例2 证明级数arctan
12+arctan12・22+…+arctan1
2・n
2+…收敛,并求其和。证明 级数的部分和 sn=arctan12+arctan12・22+…+arctan1
2・n
2,注意到公式arctan
α+β
1-α
β=arctanα+arctanβ,有
s2=arctan
12+arctan1
2・2
2=arctan12+1
2・221-12・12・2
2=arctan2
3,
s3=s2+arctan12・3
2
=arctan
23+arctan12・3
2=arctan34,用数学归纳法易证 sn=arctan
n
n+1
(n=1,2,…),

Answer 3

原式=1+1/2+1/3+1/4+......

=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
=1+1/2+1/2+1/2+.....=∞
∴原式=∞

Answer 4

只有尝试去凑展开式，凑成那常用的几个展开式，消分子就逐项积分，消分母就逐项求导，凑出来之后再做上一步的相反运算，最后积分的话注意下0值，
用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。
若有一个无穷数列

此数列构成下列表达式

称以上表达式为无穷级数（infinite series），简称级数，记为

其中第

项

叫做级数的一般项或通项。
一般而言，我们有