Question

为什么可以用二阶导数判断函数极值？

我知道怎么判断，但是我不知道其中的原理，能否给我解释一下，谢谢。

Answer 1

这个问题，楼主可以借助于圆来理解。

将圆分割成四个相等的部分，也就是在四个象限的四个四分之一的弧长；
1、先分析在第2象限的弧
x从左向右移动时，弧上的每一点的切线的斜率是越来越小，从正无穷大变为0；

2、再分析在第1象限的弧
x从左向右移动时，弧上的每一点的切线的斜率是越来越小，从0变成负无穷大。

所以，第二、第一象限的图像的演变过程是：
A、整体上，斜率越来越小，也就是二阶导数 （= 斜率的变化率）小于0；
B、二阶导数小于0，就是意味着函数有最大值，这个最大值在一阶导数为0处。

类似地，similarly，
3、先分析在第3象限的弧
x从左向右移动时，弧上的每一点的切线的斜率是越来越大，从负无穷大变为0；

2、再分析在第4象限的弧
x从左向右移动时，弧上的每一点的切线的斜率是越来越大，从0变成正无穷大。

所以，第三、第四象限的图像的演变过程是：
A、整体上，斜率越来越大，也就是二阶导数 （= 斜率的变化率）大于0；
B、二阶导数小于0，就是意味着函数有最小值，这个最小值在一阶导数为0处。

Answer 2

引用PasirRis白沙的回答：
这个问题，楼主可以借助于圆来理解。

将圆分割成四个相等的部分，也就是在四个象限的四个四分之一的弧长；
1、先分析在第2象限的弧
x从左向右移动时，弧上的每一点的切线的斜率是越来越小，从正无穷大变为0；

2、再分析在第1象限的弧
x从左向右移动时，弧上的每一点的切线的斜率是越来越小，从0变成负无穷大。

所以，第二、第一象限的图像的演变过程是：
A、整体上，斜率越来越小，也就是二阶导数 （= 斜率的变化率）小于0；
B、二阶导数小于0，就是意味着函数有最大值，这个最大值在一阶导数为0处。

类似地，similarly，
3、先分析在第3象限的弧
x从左向右移动时，弧上的每一点的切线的斜率是越来越大，从负无穷大变为0；

2、再分析在第4象限的弧
x从左向右移动时，弧上的每一点的切线的斜率是越来越大，从0变成正无穷大。

所以，第三、第四象限的图像的演变过程是：
A、整体上，斜率越来越大，也就是二阶导数 （= 斜率的变化率）大于0；
B、二阶导数小于0，就是意味着函数有最小值，这个最小值在一阶导数为0处。

最后一句话，B 二阶导数大于0