Question

点M是抛物线y^2=4x的准线上的一点，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A,B两点，直线MF,

点M是抛物线y^2=4x的准线上的一点，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A,B两点，直线MF,MA,MB的斜率分别为k0,k1,k2,求证:当k0为定值时，k1+k2也为定值

Answer 1

准线方程x=-1,焦点F(1,0)
M(-1,y0),
若直线AB的斜率不存在，此时A(1,2),B(1,-2),
k0=-y0/2,k1=(y0-2)/(-1-1)=(2-y0)/2,k2=(y0+2)/(-1-1)=(-y0-2)/2
此时k1+k2=0为定值
若直线AB的斜率存在且不为0，设其方程y=k(x-1)(k≠0)
设A(x1,kx1-k),B(x2,kx2-k)
k0=(y0-0)/(-1-1)= -y0/2
k1=(kx1-k-y0)/(x1+1)
k2=(kx2-k-y0)/(x2+1)
y²=4x
y=kx-k
→k²x²-(2k²+4)x+k²=0
x1+x2=(2k²+4)/k²,x1x2=1
k1+k2=[(kx1-k-y0)(x2+1)+(kx2-k-y0)(x1+1)]/(x1+x2+x1x2+1)

追答

=[k(x1²+x2²)+y0(x1+x2)-2y0-2k]/(4+4/k²)
=(4k²+y0k+4)/(k^3+k)
由于k0,k为定值，所以k1+k2也为定值
综上所述，…