Question

求解一道点集拓扑（积拓扑）的问题！

S是R^2的一个子集，其中的元素是（x,y）属于[0,1]X[0,1]，其中x 或 y是无理数，或者x,y均为无理数。那么在R^2的通常拓扑下，S是A.闭集，B.开集，C.联通集. D.totally disconnected(是什么意思啊),E.紧空间

请解释下每个选项，谢谢。

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Answer 1

(A) 闭的。关于这个选项的对错，可否请想一下S在R^2中的闭包是什么？如果这个想不通，那么，单位区间I中的无理数组成的集合，它在R中的闭包是什么？

(B) 开的。请想一下，这个集合里的点是不是都是它的内点？它的补集在R^2中的闭包是什么？

(C) 连通的。在看连通性之前，不妨先看看，这个集合是不是道路连通的。如果是，任给它里面的两个点，如何找一条道路连接这两个点？如果不是，为什么？

(D) 这个词的意思或许可以翻译成“全不连通”。一个拓扑空间是totally disconnected，如果任何道路连通分支都是单点集，或者说，这个空间中任何两个点都不能用这个空间里的一条道路连接起来。可以举几个totally disconnected的空间的例子。首先，整数集在R中是totally disconnected，任何两个整点之间都不能通过一条道路来连接，使得这条道路只经过整点，这个例子比较平凡，因为这里整数集的拓扑是离散拓扑。还有一个例子是有理数集，任何两个有理数之间都不能用一条只经过有理数的道路来连通，所以有理数集是全不连通的，无理数集也类似，注意有理数和无理数集的拓扑不是离散拓扑，即，不是每个单点集都是开集。

(E) 如果知道了(A)是否正确，那么想一下Heine-Borel定理怎么说的，就可以判断这个选项是否正确。