点集拓扑学的主要内容
泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，更促进了把点集当作空间来研究。数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题。为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念。如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系。1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑。对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）。该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域 。这就给出了X的一个拓扑结构。X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间。
X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念。若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射。具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）。要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可。在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚。
要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射。方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚。一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等（见拓扑空间）。在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松对紧空间进行了系统研究 ，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献 ；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进。
