Question

一个函数在一点连续,则在该点的一个邻域连续是什么定理

Answer 1

没有这个定理。

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。

对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

扩展资料：

在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。连续函数的复合函数是连续的。

参考资料来源：百度百科--连续函数

Answer 2

没听说过这个定理。事实上，人们也人为的设定出了，只在一点连续（在这点符合连续的定义），而其他任何点都不连续的函数来。
所以这个想法本来就是错的，当然也就更不可能是什么定理了。
首先先说说狄利克雷函数，这个函数的定义是D（x）=1（x是有理数）；=0（x是无理数）
也就是说，当x是有理数的时候，函数值是1，当x是无理数的时候，函数值是0
很明显，这个函数处处不连续，但是个有界函数。
那么设定f（x）=xD（x）
那么当x→0的时候，f（x）是一个无穷小x乘有界函数D（x），所以还是无穷小，极限是0，等于f（0）的函数值。
根据连续的定义，f（x）在x=0点处连续。
但是除了这一点外，这个f（x）在任何点都不连续。
所以的确是存在，只在一点连续，其他点都不连续的函数。

Answer 3

没有这个定理的，比如说黎曼函数，它在所有无理点处都连续，有理点处都不连续，那么在任意一个无理点的任意小的邻域中都存在有理点，与你说的这个定理是想矛盾的呀