Question

高等数学，定积分。求其中几道题的解析过程，要求格式清晰详细但不要繁琐

Answer 1

7. 几题都是用分部积分，做一题为代表吧：
(4) ∫<0, 1> xarctanxdx = (1/2)∫<0, 1> arctanxd(x^2)
= (1/2)[x^2arctanx]<0, 1> - (1/2)∫<0, 1> x^2/(1+x^2)dx
= π/8 - (1/2)∫<0, 1> [1 - 1/(1+x^2)]dx
= π/8 - (1/2)[x - arctanx]<0, 1>
= π/8 - (1/2)[1 - π/4]
= 3π/8 - 1/2
8. 令 x -t = u, 则 t = x - u， dt = -du， 则
∫<下0, 上x> f(x-t)dt = ∫<下x, 上0> f(u)(-du)
= ∫<下0, 上x> f(u)du = e^(-2x)
令 x = 1， 得 ∫<下0, 上1> f(u)du = e^(-2)，
定积分与积分变量无关，则 ∫<0, 1> f(x)dx = e^(-2)