Question

计算行列式 1 2 3 ... n 2 3 4 ... 1 ....... n 1 2 ...n-1

Answer 1

可用行列式的性质结合定义如图计算。

第一行除外，用第i行减去第i-1行，得到一个新的行列式，再对这个新的行列式执行一遍前面的操作，最后就得到一个比较好算的行列式了（有两条次对角线上元素非零，另外出去第一行外其余全为0）

行列式 = n(n+1)/2  这是之前提出的公因子。

* (-1)^[(n-2)(n-1)/2]  --这是斜上(下)三角行列式带的正负号。

*(-1)^(n-1)*n^(n-2)   -- 这是斜对角线上 n-1 个元素的乘积。

扩展资料：

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

参考资料来源：百度百科-行列式

Answer 2

将所有列，加到第1列，得到
(1+n)n/2 2 3 ... n
(1+n)n/2 3 4 ... 1
(1+n)n/2 4 5 ... 2
...
(1+n)n/2 n 1 ... n-2
(1+n)n/2 1 2 ... n-1

提取第1列公因子，然后
每一行都减去第n行，得到
(1+n)n/2 *
0 1 1 ... 1 1
0 2 2 ... 2 2-n
0 3 3 ... 3-n 3-n
...
0 n-1 -1 ... -1 -1
1 1 2 ... n-2 n-1

每一行(第1、n行除外)减去第1行的i倍，得到
(1+n)n/2 *
0 1 1 ... 1 1
0 0 0 ... 0 -n
0 0 0 ... -n -n
...
0 0 -n ... -n -n
1 1 2 ... n-2 n-1

按第1列展开，然后新行列式，再按第1列展开
得到n-2阶行列式，然后按副对角线相乘（需乘以一个符号系数），得到

(1+n)n/2 * （-1）^(1+n) *
（-n）^(n-2) * （-1）^(⌊(n+2)/2⌋)
其中符号⌊⌋表示向下取整。

化简得到，

n^(n-1) (1+n)/2 * （-1）^⌊n/2⌋

现验证一下公式是否正确：
当n=1时，是1，正确
当n=2时，是-3，即行列式[1 2;2 1] 正确
...
的确正确！

Answer 3

你好！可用行列式的性质结合定义如图计算。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Answer 4

简单计算一下即可，答案如图所示