Question

一道微积分应用题，谢谢大家

Answer 1

在下看好久了都没有人来答.............其实这题真的不难。
这种类型的题，通常都是取一个变量作为微元，然后找其它东西和微元间的关系。
然后列出当微元于某一值时，你要求的东西包含微元的式子，然后积分就好。

这道题中，比如您取深度作为微元，dh，
那么相似三角形嘛，当深度为dh时，这一深度上对应截面圆的半径就是：
r/4=(8-dh)/8

变一下形就得到:
r=4*[(8-dh)/8]
那么圆面积微元就是，πr的平方对吧？
πr^2=π{4*[(8-dh)/8]}^2
【注意后面的“^2”，“x^2”这是x的平方的意思，还有“x*y”就是x乘以y，这是科学计算器的格式。】

这一个圆，可以看为是一个圆柱体微元对吧？这道题中深度和高度是一回事对不对？
所以微圆柱体的体积微元就是：
dv=底乘高=π（（4*[(8-dh)/8]）^2）*dh

这题其实到这里已经做完了。
那么圆柱体体积微元的质量就是体积乘以密度，
dm=ρdv=ρπ（（4*[(8-dh)/8]）^2）*dh
（ρ是密度）

那么将这微圆拿上来需要做的功：
dw=g*dm*dh=gρπ（（4*[(8-dh)/8]）^2）*dh^2
(g是重力加速度，注意后面的“dh^2”，这是“dh的平方”的意思)

那么总功，w=∫gρπ（（4*[(8-h)/8]）^2）*h^2 dh

（没办法，打字的话只能是这种科学计算器一样的格式，手边没有纸，这是摆渡坑爹了）

上下限分别是8和0就好，因为是取深度作为微元，因此微元的上下限就是深度范围。

当然您也可以取半径作为微元，取深度和圆半径的关系来积分，不过这样就比较难理解做出来思维上就比较抽象了。在下还是推荐这种将深度作为微元的方法。
以上，有任何不懂的地方吗？