一道微积分应用题,谢谢大家

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SN_404011
2016-01-19 · TA获得超过1063个赞
知道小有建树答主
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在下看好久了都没有人来答.............其实这题真的不难。
这种类型的题,通常都是取一个变量作为微元,然后找其它东西和微元间的关系。
然后列出当微元于某一值时,你要求的东西包含微元的式子,然后积分就好。

这道题中,比如您取深度作为微元,dh,
那么相似三角形嘛,当深度为dh时,这一深度上对应截面圆的半径就是:
r/4=(8-dh)/8

变一下形就得到:
r=4*[(8-dh)/8]
那么圆面积微元就是,πr的平方对吧?
πr^2=π{4*[(8-dh)/8]}^2
【注意后面的“^2”,“x^2”这是x的平方的意思,还有“x*y”就是x乘以y,这是科学计算器的格式。】

这一个圆,可以看为是一个圆柱体微元对吧?这道题中深度和高度是一回事对不对?
所以微圆柱体的体积微元就是:
dv=底乘高=π((4*[(8-dh)/8])^2)*dh

这题其实到这里已经做完了。
那么圆柱体体积微元的质量就是体积乘以密度,
dm=ρdv=ρπ((4*[(8-dh)/8])^2)*dh
(ρ是密度)

那么将这微圆拿上来需要做的功:
dw=g*dm*dh=gρπ((4*[(8-dh)/8])^2)*dh^2
(g是重力加速度,注意后面的“dh^2”,这是“dh的平方”的意思)

那么总功,w=∫gρπ((4*[(8-h)/8])^2)*h^2 dh

(没办法,打字的话只能是这种科学计算器一样的格式,手边没有纸,这是摆渡坑爹了)

上下限分别是8和0就好,因为是取深度作为微元,因此微元的上下限就是深度范围。

当然您也可以取半径作为微元,取深度和圆半径的关系来积分,不过这样就比较难理解做出来思维上就比较抽象了。在下还是推荐这种将深度作为微元的方法。
以上,有任何不懂的地方吗?
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